Exponential stability for nonlinear ltering

We study the a.s. exponential stability of the optimal lter w.r.t. its initial conditions. A bound is provided on the exponential rate (equivalently, on the memory length of the lter) for a general setting both in discrete and in continuous time, in terms of Birkhoo's contraction coeecient. Criteria for exponential stability and explicit bounds on the rate are given in the speciic cases of a diiusion process on a compact manifold, and discrete time Markov chains on both continuous and discrete-countable state spaces. R esum e Nous etudions la stabilit e du ltre optimal par raport a ses conditions initiales. Le taux de d ecroissance exponentielle est calcul e dans un cadre g en eral, pour temps discret et temps continu, en terme du coeecient de contraction de Birkhoo. Des crit eres de stabilit e exponentielle et des bornes explicites sur le taux sont calcul ees pour les cas particuliers d'une diiusion sur une vari ete compacte, ainsi que pour des chaines de Markov sur un espace discret ou continu.